DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD EXPONENCIAL

 

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD EXPONENCIAL

La distribución Exponencial es una forma de distribución Poisson en la cual se utiliza su metodología si se quiere calcular los eventos que transcurren en un lapso de tiempo que ocurren cuando estos suceden de manera consecutiva de tipo Poisson este se le conoce como una variable de distribución exponencial.

Esta considera que una variable continua X define el tiempo en el que ocurre dos eventos consecutivos y se establece de la siguiente forma:

Dada una variable aleatoria X que tome valores reales no negativos {x ³ 0} diremos que tiene una distribución exponencial de parámetro a con a ³ 0, si y sólo si su función de densidad tiene la expresión: 

Donde la función de densidad exponencial para la variable exponencial es:

Donde

Λ > 0

e = 2,718281

X  ≥ 0 

Para que esto se pueda cumplir F(x) deben cumplirse las condiciones 

La Esperanza:

La Varianza es:

Ejemplo Practico:

Podemos modelar el tiempo que transcurre hasta que un cliente arribe al sector de cajas como una variable con distribución exponencial de parámetro Λ = 6 clientes por minuto.

Entonces

X ~ Exp (Λ = 6)

a)    a)  El tiempo promedio en que llegan los clientes a caja

a)  b)   La probabilidad de que transcurra a lo sumo medio minuto hasta que llegue un cliente a las cajas

a)      c) La probabilidad de que transcurra por lo menos 1 minuto hasta que llegue un cliente a las cajas

a)     d)  La probabilidad de que el próximo cliente demore entre 10 y 20 segundos en arribar a las cajas 

Redactor::

Ronney Matloo 

V-27.262.543

Bibliografía:

https://www.uv.es/ceaces/base/modelos%20de%20probabilidad/exponencial.htm

https://www.youtube.com/watch?v=ajY_el0_tCE

https://virtual.uptc.edu.co/ova/estadistica/docs/libros/ftp.bioestadistica.uma.es/libro/node78.htm

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL

La distribución normal, distribución Gaussiana o curva normal se define como un proceso estocástico de distribución continua. También que se define por la ecuación:

Donde: µ = Media, σ = Desviación Estándar, π = 3,14159, e = 2.71828. También, se toma en cuenta el área que esta limitada por la curva y por el eje X que es por lo cual el área bajo la curva esta comprendida entre X = a y X = b donde a < b ya que esto define que el valor de X este comprendido entre los dos puntos de la curva.

En el caso de que la X tenga un valor estandarizado, entonces la ecuación pasa a su forma estándar:

Estándar:

Lo que en este caso dice que Z esta distribuida normalmente y tiene una media de 0 y una varianza de 1 donde en la siguiente figura se ve representada entre 2 puntos en z lo que representa un porcentaje del área bajo la curva.

Se le conoce como curva normal tipificada o campana de Gauss

Y cuyo porcentaje se sabe al evaluar la integral:

O por el contrario de esto, se puede utilizar la tabla de distribución normal 

Esta tabla contiene el resultado de las integrales correspondientes a los valores que se le asignan, y su uso se ejecuta de forma que se toma el primer decimal de z y el segundo decimal del mismo, y se obtiene el resultado de la evaluación.

Esta presenta 3 casos diferentes.

    Cuando presenta un valor P(0 ≤ Z ≤ n) siendo n un número. La cual no rompe la ley fundamental de la tabla.

    Cuando se presenta un numero P(-n ≤ Z ≤ 0). En este caso, el valor negativo para al otro lado de la desigualdad como un numero positivo y se toma como un valor normal P(0 ≤ Z ≤ n).

    Cuando se presenta un intervalo cerrado entre 2 valores, P(-n ≤ Z ≤ n). Se toma trabaja caso 1 y caso 2 y los resultados se suman, lo cual da el resultado que se busca. 

Propiedades de la distribución Normal:

Ejemplo Practico:

 Las estaturas de los americanos promedios tienen una distribución normal donde la media es 167 cm y la desviación estándar es de 12.5.

σ = 12.5   μ = 167cm

a. Calcular la probabilidad de que las estaturas sean > 185 cm.

Z = (185 - 167) /12.5 = 1.44

b. Calcular la probabilidad de que las estaturas sean mayores o iguales a 160 cm y menores o iguales a 182 cm.

 c. Calcular la probabilidad de que las estaturas sean mayores o iguales a 170 cm y menores o iguales a 183 cm.

Al sustituir los valores en la función original, se obtiene la gráfica.

Se calcula la probabilidad de los puntos asignados

Z_1  =  (160 - 167)/12.5  = -0.56

 

P(Z_1) o P(160 <= X <=167) = 0.2123

 

Z_2  =  (182 - 167)/12.5  = 1.2

 

P(Z_2) o P(167 <= X <=182) = 0.3849

 

P(160 <= X <=182) = 0.2123 + 0.3849 = 0.5972

 

Z_1  =  (170 - 167)/12.5  = 0.24

 

P(Z_1) o P(167 <= X <=170) = 0.0948

 

Z_2  =  (183 - 167)/12.5  = 1.28

 

P(Z_2) o P(167 <= X <=183) = 0.3997

 

P(170 <= X <=183) = 0.3997 – 0.0948 = 0.3049

VIDEO: 

https://www.youtube.com/watch?v=-6fv_gql_eY

Redactor::

Ronney Matloo 

V-27.262.543

Bibliografía:

Estadística de Schaum 4ta edición Murray R. Spiegel & Larry J. Stephens

http://matematicasbysnh31d3r.blogspot.com/2017/10/ejercicios-distribucion-normal-estandar.html

https://www.youtube.com/channel/UCit9MctiWdrR2bCqyuDP5fQ